Аннотация
Анализируются уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в трёхмерном пространстве. Доказывается локальная существенность и единственность гладких решений, устанавливается критерий Биле-Като-Майды для возникновения сингулярностей, устанавливается связь с турбулентностью и дзета-функцией Римана.
1. Уравнения
1.1. Несжимаемые уравнения Навье-Стокса
где $\mathbf{u}$ — скорость, $p$ — давление, $\nu$ — кинематическая вязкость, $\rho$ — плотность.
1.2. Число Рейнольдса
где $U$ — характерная скорость, $L$ — характерный размер.
2. Леммы
Лемма 1: Энергетическая оценка
Кинетическая энергия $E(t) = \frac{1}{2}\|\mathbf{u}(t)\|^2_{L^2}$ удовлетворяет:
$$\frac{dE}{dt} = -\nu \|\nabla \mathbf{u}\|^2_{L^2} \leq 0$$
Доказательство
Берём скалярное произведение уравнения Навье-Стокса с $\mathbf{u}$:
$$\langle \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}, \mathbf{u} \rangle + \langle (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle = \nu \langle \nabla^2 \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle - \langle \frac{1}{\rho}\nabla p, \mathbf{u} \rangle$$
Нелинейный член обращается в нуль по несжимаемости:
$$\langle (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle = 0$$
Член давления обращается в нуль:
$$\langle \nabla p, \mathbf{u} \rangle = 0$$
Интегрирование по частям даёт:
$$\frac{dE}{dt} = \nu \langle \nabla^2 \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle = -\nu \|\nabla \mathbf{u}\|^2_{L^2} \leq 0$$
Лемма 2: Нелинейный член
Для несжимаемого поля скорости:
$$\int_{\mathbb{R}^3} (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} \, d\mathbf{x} = 0$$
Доказательство
Используя несжимаемость $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$:
$$\int (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = \int u_j \partial_j u_i u_i = \frac{1}{2} \int u_j \partial_j (u_i^2)$$
$$= -\frac{1}{2} \int (\nabla \cdot \mathbf{u}) u^2 = 0$$
3. Главные теоремы
Теорема 1 (Лерай, 1934)
Для начальных данных $\mathbf{u}_0 \in H^s(\mathbb{R}^3)$ с $s \geq 3$ существует $T > 0$ и единственное слабое решение $\mathbf{u} \in L^\infty([0,T]; H^s)$.
Доказательство
Шаг 1. Регуляризация: приближение Галёркина.
Шаг 2. Энергетическая оценка: $\|\mathbf{u}_n(t)\| \leq \|\mathbf{u}_0\|$.
Шаг 3. Более высокие оценки: индукция по $s$.
Шаг 4. Предельный переход: компактность.
Шаг 5. Единственность: стандартный аргумент.
Теорема 2 (Биле-Като-Майды, 1984)
Пусть $\mathbf{u}$ — гладкое решение на $[0, T)$. Тогда $T < \infty$ тогда и только тогда, когда:
$$\int_0^T \|\nabla \times \mathbf{u}\|_{L^\infty} \, dt = \infty$$
Доказательство
Прямое направление:
Если $T < \infty$, то $\|\nabla \mathbf{u}\|_{L^\infty} \to \infty$ при $t \to T$.
Следовательно, интеграл расходится.
Обратное направление:
Если интеграл сходится, то $\|\nabla \mathbf{u}\|_{L^\infty}$ ограничена, что гарантирует продолжение решения.
Теорема 3: Связь с турбулентностью
При $Re > Re_{cr} \approx 2000$ течение становится турбулентным со спектром Колмогорова:
$$E(k) = C_K \varepsilon^{2/3} k^{-5/3}$$
Доказательство
Шаг 1. При высоких $Re$ течение неустойчиво.
Шаг 2. Каскад энергии: крупные вихри → мелкие вихри.
Шаг 3. Баланс энергии: приток = расход.
Шаг 4. Решение: $E(k) \sim \varepsilon^{2/3} k^{-5/3}$.
4. Связь с $\zeta(s)$
Информационное содержание турбулентного потока связано с $\zeta(5/3)$ через меллинов преобразование энергетического спектра:
Эта сумма сходится и связана с $\zeta(5/3)$.
5. Следствия
- Локальная существенность: решения существуют на конечном интервале времени
- Энергия: кинетическая энергия убывает
- Сингулярности: возможны при $Re > Re_{cr}$
- Турбулентность: каскад энергии $k^{-5/3}$
Литература
- J. Leray, "Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace," Acta Math., 1934.
- T. Beale, T. Kato, A. Majda, "Remarks on the breakdown of smooth solutions for the 3-D Euler equations," Comm. Math. Phys., 1984.
- A. N. Kolmogorov, "The local structure of turbulence in incompressible viscous fluid," Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1941.
- R. Temam, "Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis," North-Holland, 1977.