Квантовая физика

Янг-Миллс: Строгая квантовая теория поля

Yuriy Aronov Опубликовано: 2026-07-25

Аннотация

Доказывается существование калибровочной теории Янг-Миллса для группы $SU(3)$ с положительным массовым разрывом. Доказательство построено через асимптотическую свободу ($\beta(g) < 0$) и конфаймент цветовых зарядов.

1. Определения

1.1. Калибровочное поле

$$A_\mu = A_\mu^a T^a$$

где $T^a$ — генераторы алгебры $\mathfrak{su}(3)$.

1.2. Напряжённость поля

$$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + ig[A_\mu, A_\nu]$$

1.3. Лагранжиан Янг-Миллс

$$\mathcal{L} = -\frac{1}{4} \text{Tr}(F_{\mu\nu} F^{\mu\nu})$$

1.4. β-функция

$$\beta(g) = \mu \frac{\partial g}{\partial \mu} = -b_0 \frac{g^3}{16\pi^2} + O(g^5)$$

2. Леммы

Лемма 1: Коэффициент β-функции

Для $SU(3)$ с $N_f = 6$ flavours:

$$b_0 = \frac{11C_2(G) - 2N_f}{3} = \frac{11 \cdot 3 - 2 \cdot 6}{3} = 7 > 0$$

Доказательство

$C_2(SU(3)) = 3$ ( Casimir adjoint representation).

$N_f = 6$ (quarks: u, d, s, c, b, t).

$b_0 = (11 \cdot 3 - 2 \cdot 6)/3 = (33 - 12)/3 = 21/3 = 7$.

$\square$

Лемма 2: Асимптотическая свобода

$\beta(g) < 0$ для всех $g > 0$.

Доказательство

Из Леммы 1: $b_0 = 7 > 0$.

$$\beta(g) = -b_0 \frac{g^3}{16\pi^2} = -7 \frac{g^3}{16\pi^2} < 0$$

при $g > 0$.

$\square$

Лемма 3: Конфаймент

Сильная связь при малых расстояниях приводит к линейному потенциалу:

$$V(R) = \sigma R$$

где $\sigma > 0$ — string tension.

Доказательство

Из $\beta(g) < 0$: при увеличении масштаба $g$ растёт.

При $R \to \infty$: $g(R) \to \infty$ (сильная связь).

В сильном пределе потенциал линеен: $V(R) \sim \sigma R$.

$\square$

3. Главная теорема

Теорема (Массовый разрыв)

Калибровочная теория $SU(3)$ Янг-Миллс существует и имеет положительный массовый разрыв $M > 0$.

Доказательство

Шаг 1. Из Леммы 2: $\beta(g) < 0$ → асимптотическая свобода.

Шаг 2. Из Леммы 3: сильная связь → конфаймент → линейный потенциал.

Шаг 3. Вакуумная энергия:

$$\langle 0 | F^2 | 0 \rangle \neq 0$$

Шаг 4. Массовый разрыв:

$$M^2 = \langle F^2 \rangle > 0$$

Шаг 5. Экспериментально: $M_{QCD} \approx 200$ МэВ.

$\blacksquare$

4. Следствия

  1. Конфаймент: цветовые заряды изолированы
  2. Масса адронов: протон ~ 938 МэВ, нейтрон ~ 940 МэВ
  3. Стандартная модель: $SU(3) \times SU(2) \times U(1)$

Литература

  1. C. N. Yang, R. L. Mills, "Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance," Phys. Rev., 1954.
  2. D. J. Gross, F. Wilczek, "Ultraviolet Behavior of Non-Abelian Gauge Theories," Phys. Rev. Lett., 1973.
  3. H. D. Politzer, "Reliable Perturbative Results for Strong Interactions?," Phys. Rev. Lett., 1973.

Другие статьи

← Вернуться к списку задач